Vinklar
I Matte 1-kursen lärde vi oss om de trigonometriska sambanden som finns i rätvinkliga trianglar. Vi inleder det här avsnittet med en repetition av det vi tidigare har lärt oss, för att sedan gå in på områden där vi tillämpar dessa grunder inom trigonometrin.
Som vi lärt oss tidigare kallas en triangel rätvinklig om den har en vinkel som är 90°.
De olika sidorna i en rätvinklig triangel benämns med olika namn i förhållande till vinkeln som vi studerar. Hypotenusan är alltid den rätvinkliga triangelns längsta sida, medan de övriga sidorna kallas kateter. Den katet som ligger närmast den vinkel vi studerar benämns närliggande, den andra kateten benämns motstående:
Här beskriver vi de trigonometriska förhållandena i en rätvinklig triangel.
$$\sin v=\frac{motstående\: katet}{hypotenusan}$$
$$\cos v=\frac{närliggande\: katet}{hypotenusan}$$
$$\tan v=\frac{motstående\: katet}{närliggande\: katet}$$
Men hjälp av dessa förhållanden kan vi beräkna kvoten (förhållandet) mellan längderna eller så kan vi beräkna vinkeln. Om vi vet vinkeln \(v\) så tar vi \(\sin v\), \(\cos v\), eller \(\tan v\) och får ut kvoten. Vi kollar på ett exempel,
Vi tar vinkeln 30°
$$\sin(30^{\ci
I den här lektionen går vi igenom yttervinkelsatsen. Vi förklarar hur en triangels vinklar är uppbyggda och tar exempel där vi kan ha nytta av yttervinkelsatsen.
Yttervinkelsatsen beskriver ett förhållande mellan en yttervinkel till en triangel och vinklarna i triangeln. Den säger att yttervinkeln är lika stor som summan av de två motstående vinklarna i triangeln.
Yttervinkelsatsen
Yttervinkeln är lika stor som summan av de två motstående vinklarna i triangeln. Dvs
$y=x+z$=+
Exempel 1
Bestäm vinkeln $v$.
Lösning
Här ger yttervinkelsatsen att
$v=88^{\circ}+38^{\circ}=^{\circ}$=88∘+38∘=∘
Exempel 2
Bestäm vinkeln $b$
Lösning
Med hjälp av satsen kan vi ställa upp följande ekvation.
$2,5b=51+b$2,5=51+
Vi subtraherar bägge leden med $b$
$1,5b=51$1,5=51
Dela bägge leden med $1,5$1,5
$b=\frac{51}{1,5}=34^{\circ}$=,5=34∘
Yttervinkelsatsen kan bevisas med hjälp av följande fakta
Vi ritar först upp följande figur
Här gäller följande:
$y+v=^{\circ}$+=∘
$v+x+z=^{\circ}$++=∘
Då högerleden är lika kan vi sätta
$y+v=v+x+z$+=++
Nu kan vi subtrahera med $v$ i bägge leden.
$y+v-v=v-v+x+z$+−=−++
$y=x+z$=+ (vilket skulle bevisas)
Matematisk problemlösning
1. Vad är \( \frac{2}{3} + \frac{4}{7} - \frac{5}{21}\)?
- \( -\frac{1}{11} \)
- \( \frac{1}{7} \)
- \( 1 \)
- \( 3 \)
\( \frac{2}{3} + \frac{4}{7} - \frac{5}{21} =\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 7} - \frac{5}{21} = \frac{14}{21} + \frac{12}{21} - \frac{5}{21} = \frac{14 +12 - 5}{21} = \frac{21}{21} = 1 \)
Svar: C
2. Hur stor är den största vinkeln i en triangel där förhållandet mellan vinklarna är ?
- \(60^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(^\circ\)
- \(^\circ\)
För att hitta storleken på den största vinkeln i triangeln där förhållandet mellan vinklarna är måste du först ange ett värde för den minsta vinkeln. Låt oss kalla den minsta vinkeln för x grader. Enligt förhållandet är den andra vinkeln 2x grader, och den största vinkeln är 6x grader.
För att bestämma x kan du använda det faktum att summan av vinklarna i en triangel är grader. Så:
x + 2x + 6x =
Nu kan du lösa ekvationen för x:
\(9x = \)
\( x = \frac{}{9} \)
\(x = 20 \)
Nu har du värdet på x, vilket är 20 grader. Den minsta vinkeln är 20 grader, den andra vinkeln är 2x, alltså \(2 \cdot 20 = 40^\circ \), och den största vinkeln är 6x, alltså \(6 \cdot 20^\c
Trianglar
I det här avsnittet ska vi lära oss om trianglar, olika typer av trianglar och hur vi beräknar en triangels omkrets och area.
Vad är en triangel?
En triangel är en geometrisk figur som har tre hörn. I vart och ett av hörnen har triangeln en vinkel och hörnen binds samman av tre sidor.
Hörnen i en triangel betecknar vi ofta med stora bokstäver (versaler), till exempel A, B och C som i bilden här ovanför. När vi säger en triangel ABC menar vi helt enkelt en triangel med hörnen A, B och C, och en sådan triangel betecknar vi ∆ABC. Ofta betecknar vi också vinkeln i ett hörn A som vinkel A.
I en triangel gäller att en sida som befinner sig mittemot ett hörn A, kallas den motstående sidan, och betecknas med den lilla bokstaven (gemenen) som motsvarar hörnets beteckning. Till exempel är sidan som är motstående hörnet A en sida som vi betecknar a. Har vi en triangel ∆ABC så kan vi alltså beteckna dess sidor a, b och c.
Trianglars vinkelsumma (°)
En viktig egenskap hos trianglar är att en triangels vinkelsumma är lika med °. Vinkelsumman får vi genom att vi adderar storleken på triangelns tre vinklar. Denna summa ska alltså
.